微积分常用公式有哪些

2025-09-29 10:06:20 来源：网易用户：郭爽达

【微积分常用公式有哪些】微积分是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些常用的微积分公式，可以帮助我们更高效地解决相关问题。以下是一些在微积分学习和应用中经常用到的公式，包括导数、积分以及基本的微分法则等。

一、导数常用公式

二、积分常用公式

函数	不定积分
$ f(x) = c $	$ \int c \, dx = cx + C $
$ f(x) = x^n $（n ≠ -1）	$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $
$ f(x) = \sin x $	$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $
$ f(x) = \cos x $	$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $
$ f(x) = e^x $	$ \int e^x \, dx = e^x + C $
$ f(x) = \frac{1}{x} $	$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln	x	+ C $
$ f(x) = a^x $	$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $
$ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $	$ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $

三、微分法则与积分技巧

微分法则：

- 和差法则：$ (f ± g)' = f' ± g' $

- 乘积法则：$ (fg)' = f'g + fg' $

- 商法则：$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $

- 链式法则：若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $

积分技巧：

- 换元积分法（第一类换元）：令 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u) du $

- 分部积分法：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $

- 三角代换：如 $ x = a \sin t $、$ x = a \tan t $ 等，用于处理含有平方根的积分

- 有理函数分解：将有理函数拆分为部分分式进行积分

四、常见特殊函数积分

函数	积分结果
$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx $	$ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $
$ \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx $	$ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $
$ \int \sec^2 x \, dx $	$ \tan x + C $
$ \int \csc^2 x \, dx $	$ -\cot x + C $
$ \int \sec x \tan x \, dx $	$ \sec x + C $
$ \int \csc x \cot x \, dx $	$ -\csc x + C $

五、总结

微积分的核心在于理解导数和积分的概念及其应用。掌握上述常用公式和技巧，不仅有助于解题效率的提升，也能加深对微积分理论的理解。建议在学习过程中多做练习，结合实际例子来巩固记忆，避免死记硬背。

希望这份总结能为你提供清晰的学习参考！

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