怎样用分部积分法求积分
【怎样用分部积分法求积分】分部积分法是微积分中一种重要的积分技巧,尤其适用于被积函数为两个不同函数乘积的情况。其基本思想来源于乘积法则的逆运算,常用于处理如多项式与指数函数、多项式与三角函数、对数函数与多项式等组合形式的积分。
一、分部积分法的基本公式
分部积分法的核心公式如下:
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中:
- $ u $ 是一个可导函数;
- $ dv $ 是另一个可导函数的微分;
- $ du $ 是 $ u $ 的微分;
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数。
二、使用分部积分法的步骤
1. 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $
通常遵循“LIATE”原则(Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential),优先选择出现在列表前面的函数作为 $ u $。
2. 计算 $ du $ 和 $ v $
对 $ u $ 求导得到 $ du $,对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式进行计算
将 $ u $、$ v $、$ du $ 代入公式,得到新的积分表达式。
4. 检查是否需要再次使用分部积分
如果新积分仍较复杂,可能需要重复使用分部积分法。
5. 最终整理结果
合并所有项,得到最终的积分结果。
三、常见题型与解法示例
题型 | 被积函数 | 分部选择 | 计算过程 | 结果 |
多项式 × 指数函数 | $ x^2 e^x $ | $ u = x^2 $, $ dv = e^x dx $ | $ du = 2x dx $, $ v = e^x $ | $ x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C $ |
多项式 × 三角函数 | $ x \sin x $ | $ u = x $, $ dv = \sin x dx $ | $ du = dx $, $ v = -\cos x $ | $ -x \cos x + \sin x + C $ |
对数函数 × 多项式 | $ \ln x $ | $ u = \ln x $, $ dv = dx $ | $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = x $ | $ x \ln x - x + C $ |
指数函数 × 三角函数 | $ e^x \sin x $ | $ u = e^x $, $ dv = \sin x dx $ | $ du = e^x dx $, $ v = -\cos x $ | $ -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx $(需再分部) |
四、注意事项
- 选择不当可能导致循环计算:例如在 $ e^x \sin x $ 中,若不正确选择 $ u $ 和 $ dv $,可能会陷入无限循环。
- 注意积分常数:分部积分过程中每一步都应保留积分常数,最后统一合并。
- 灵活运用:有时需要多次分部积分或结合其他方法(如换元法)才能完成积分。
五、总结
分部积分法是一种非常实用的积分技巧,尤其适用于乘积形式的函数。掌握好“选 $ u $ 和 $ dv $”的策略,并熟悉常见的题型和解法,可以大大提高积分效率。通过不断练习和积累经验,你将能更熟练地应用这一方法解决复杂的积分问题。
免责声明:本文由用户上传,与本网站立场无关。财经信息仅供读者参考,并不构成投资建议。投资者据此操作,风险自担。 如有侵权请联系删除!
-
【怎样用电瓶制作打鱼机】在一些地区,使用简易设备进行捕鱼活动曾一度流行。但需要注意的是,这种行为可能违...浏览全文>>
-
【龙母怎么辨别山正】在风水学中,“龙母”是一个重要的概念,通常指的是山脉的主干或源头,象征着生气的来源...浏览全文>>
-
【龙母浴火重生哪一集】在《权力的游戏》(Game of Thrones)中,“龙母浴火重生”是粉丝们最为关注的情节之...浏览全文>>
-
【龙母是什么汉服】“龙母是什么汉服”是一个在汉服爱好者中较为常见的疑问。虽然“龙母”并非传统汉服的正式...浏览全文>>
-
【残体字是对简体字的蔑称吗】在汉字简化过程中,一些人对简体字的使用存在不同的看法。其中,“残体字”这一...浏览全文>>
-
【龙母生的龙从哪来的】“龙母生的龙从哪来的”是一个充满神秘色彩的问题,常出现在民间传说、神话故事或文学...浏览全文>>
-
【龙母后来怎么重新控制龙了】在《权力的游戏》(Game of Thrones)原著小说及电视剧中,龙母丹妮莉丝·坦格...浏览全文>>
-
【残体的动物有哪些】在自然界中,一些动物由于各种原因会留下“残体”,这些残体可能是指动物身体的一部分,...浏览全文>>
-
【龙膜型号有哪些呢】在选择车窗膜时,很多人会关注“龙膜”这个品牌。龙膜(LLumar)是全球知名的汽车隔热膜...浏览全文>>
-
【残唐重生李世民】一、《残唐重生李世民》是一部以历史为背景的穿越题材小说,讲述的是主角李世民在唐朝灭亡...浏览全文>>