不动点法 数列（不动点法求数列通项原理）

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1、求用不动点的原理，求数列通项的例子数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)求An通项这道体我当时记了个方法:原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An=0令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以{A(n+1)-An}为公比-2的数列;{A(n+1)+2An}为公比1的数列然后联立 解出来上述方法，应该说是特征根法和不动点法。

2、 特征根: 对于多个连续项的递推式(不含常数项)，可化为X的(n-1)次方程.即:a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为:a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0然后求出根(实根虚根都可以)，不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是:a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。

3、 不动点: 比如:已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an a(n+1)=(an+2)/an(*) 令an=x,a(n+1)=x x=(x+2)/x x^2-x-2=0 x1=2,x2=-1 {(an-2)/(an+1)}为等比数列 令(an-2)/(an+1)=bn b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)] (将a(n+1)用*式换成an) =-1/2 b(n+1)=(-1/2)bn b1=-1/2 bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1) an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1 注:形如:a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。

4、让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程 (1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出 (2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出 若无解，就只有再找其他方法了。

5、 并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。

6、 对于原理，要大学才学，是建立在对方程的研究之上的。

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